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VaR4cast-Glossar
Expected Shortfall (ES)
Der Expected Shortfall (ES) ist ein Maß für das Verlustrisiko von Finanzanlagen und beinhaltet im Vergleich zum Value-at-Risk (VaR) zusätzliche Information. Für einen gegebenen Anlagezeitraum gibt der ES-Wert zum Niveau von p% den Verlust an, der am Ende des Zeitraums für den Fall zu erwarten ist, dass der Verlust den entsprechenden VaR zum Niveau von p% überschreitet.
Beispiel: Beträgt bei einen
Anlagezeitraum von 10 Tage der 95%-VaR eines Wertpapiers 7,5%, so ist
davon auszugehen, dass der Verlust des Papiers am Ende der zehn Tage
mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht mehr als 7,5% betragen wird.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% ist aber davon auszugehen, dass die
Verlustschranke von 7,5% doch überschritten wird. Ein ES-Wert von 12%
besagt, dass mit einer durchschnittlichen Verlusthöhe von 12% zu
rechnen ist, sollte die Verlustschranke von 7,5% doch überschritten
werden.
Liegt also der Wert eines
Wertpapiers heute bei 100 € und liegt
der VaR zum Niveau von 95% bei 7,5%, so ist mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5% davon auszugehen, dass der Kurs in 10 Tagen
unter 92,50 € liegen wird. Sollte dieser Fall eintreten, dann ist zu
erwarten, dass der Kurs um 88 € liegen wird.
Die in der Praxis am häufigsten anzutreffende Methode zu Berechnung eines Value-at-Risk (VaR) ist die historische Simulation. Dazu werden die historisch beobachteten Renditeänderungen eines Finanzinstruments (zum Beispiel der letzten 500 Handelstage) betrachtet. Anhand der vergangenen Beobachtungen können dann empirische Quantile bestimmt werden, die wiederum als VaR-Werte für einen eintägigen Anlagehorizont ("Tages-VaR") interpretiert werden. Um den VaR-Schätzwert für längere Anlagehorizonte zu erhalten, wird der Tages-VaR mit der Quadratwurzel der Haltedauer (gemessen in Tagen) multipliziert.
Beispiel: Basiert die Berechnung auf den letzten 500 Handelstagen, so wird in der historischen Simulation der VaR zum 99%-Niveau durch den fünft niedrigste Wert aller 500 Beobachtungen bestimmt. Das heißt, der Wert, der von 99% der Beobachtungen überschritten wird, wird als VaR für die künftige Kursentwicklung herangezogen. Um den VaR für eine Haltedauer von 10 Tagen zu schätzen, wird der Wert mit √10 = 3,16 multipliziert.
Im Gegensatz zur historischen Simulation werden bei der Monte-Carlo-Simulation keine historischen, sondern künstlich erzeugte Daten herangezogen. Dabei werden mit Hilfe von Computern und mathematisch-statistischer Modelle künstliche Zufallszahlen generiert, die hinsichtlich ihrer Dynamik und Streuung potenzielle künftige Kursverläufe (Szenarien) möglichst realistisch widergeben. Typischerweise werden mehrere tausend Szenarien bis zur gewünschten Anlagedauer generiert, von denen dann die gewünschten (Risiko-)Kenngrößen bestimmt werden können.
Das p%-Quantil ist der Wert, den eine Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeit von p% unterschreitet bzw. erreicht.
Beispiel: Beträgt das 10%-Quantil eines Aktienkurses 80 €, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs auf 80 € oder darunter fällt 10%.
Quantilsintervall (Quantile Range)
Ein Quantilsintervall (Quantile Range) ist ein Intervall, das durch zwei Quantile einer Zufallsvariable begrenzt wird.
Beispiel: Beträgt das 10%-Quantil eines Aktienkurses 80 € und das 70%-Quantil 110 €, beinhaltet das entsprechende Quantilsintervall alle Werte zwischen 80 und 110 €.
Tail-Dependence-Koeffizient
Der Tail-Dependence-Koeffizient ist ein Maß für die Abhängigkeit von extremen Verlusten zweier Assets. Der Tail-Dependence-Koeffizient zum Niveau von p% gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Asset (z.B. eine Aktie) das p%-Quantil unterschreitet, gegeben, dass das zweite Asset (z.B. der entsprechende Aktienindex) das p%-Quantil unterschreitet. Der Tail-Dependence-Koeffizient nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Ein Wert nahe 0 (bzw. 1) besagt, dass eine geringe (bzw. hohe) Wahrscheinlichkeit besteht, dass beide Assets gleichzeitig hohe Verlust erleiden.
Beispiel: Betrachtet man das 5%-Quantil als den Schwellenwert, der ein Extremverlust definiert, so werden bei einem Betrachtungszeitraum von 1.000 Handelstagen die 50 höchsten Tagesverlust eines Wertpapiers als Extremverluste klassifiziert.Beobachten wir, dass für zwei Wertpapiere 30 dieser 50 Verluste jeweils am gleichen Tag stattgefunden haben, dann ergibt sich für den Tail-Dependence-Koeffizient zum 5%-Niveau ein Wert von 30/50=0,6.
Unterschreitungswahrscheinlichkeit (Shortfall Probability)
Für einen vorgegebenen Anlagezeitraum und eine vorgegebene Kurshöhe gibt die Unterschreitungswahrscheinlichkeit (Shortfall Probability) die Wahrscheinlichkeit an, mit der der Kurs am Ende des Zeitraums unterschritten wird. Die Kurshöhe kann absolut (z.B. in Euro) oder relativ (als prozentuale Änderung zum gegenwärtigen Kurs) vorgegeben werden.
Beispiel: Für ein Wertpapier, das heute mit 100 € gehandelt wird, interessiert uns, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs in 10 Tagen unter 105 € liegt. Die absolute (relative) Unterschreitungswahrscheinlichkeit zum Kurslevel 105 € (zur Änderungsrate +5%) liefert einen Schätzwert für die gewünschte Information.
Der Value-at-Risk (VaR) ist ein Maß für das Verlustrisiko von Finanzanlagen. Für einen gegebenen Anlagezeitraum gibt der VaR-Wert zum Niveau von p% die potenzielle Verlusthöhe an, die am Ende des Zeitraums mit einer Wahrscheinlichkeit p% nicht überschritten wird. Statistisch betrachtet entspricht der p%-VaR dem (100-p)%-Quantil des Anlagepapiers.
Beispiel: Beträgt bei einen Anlagezeitraum von 10 Tage der 95%-VaR eines Wertpapiers 7,5%, so ist davon auszugehen, dass der Verlust des Papiers am Ende der zehn Tage mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht mehr als 7,5% betragen wird. Liegt der Wert des Papiers heute bei 100 €, so ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% davon auszugehen, dass der Kurs in 10 Tagen nicht unter 92,50 € liegen wird.
VaR-implizite Korrelation
Die VaR-implizit Korrelation ist eine Alternative zur konventionellen (Pearson-)Korrelation. Erfüllt die bivariate Verteilung der Renditen zweier Wertpapiere, bezeichnet mit R1 und R2, bestimmte formale Bedingungen, dann gilt für die Value-at-Risk-Werte der jeweiligen Renditen (R1 und R2) sowie der Summe der Renditen (R1+R2), jeweils zum Niveau (100-p)%, folgende Beziehung:
VaR1-p(R1+R2)2 = VaR1-p(R1)2 + VaR1-p(R2)2 + 2•ρ•VaR1-p(R1)•VaR1-p(R2),
wobei ρ ein Korrelationsmaß darstellt. Liegen (geschätzte) Werte für VaR1-p(R1), VaR1-p(R2) und VaR1-p(R1+R2) vor, so impliziert die obige Beziehung einen entsprechenden Korrelationswert, der als VaR-implizite Korrelation bezeichnet wird. Es gilt zu beachten, dass der Wert der VaR-impliziten Korrelation mit dem Konfidenzniveau (100-p)% variiert.
Beispiel: Betragen die Value-at-Risk-Werte zum 95%-Niveau für VaR95(R1), VaR95(R2) und VaR95(R1+R2) jeweils 3%, 5% und 7%, dann ergibt sich aus der obigen Beziehung ein impliziter Korrelationswert von 0,5.